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Sep 02, 2023

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 6562 (2023) Citar este artículo

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En el pasado, para modelar la rigidez de las fibras de radio finito, los modelos anteriores de deformación finita (no lineales) se basaban principalmente en la teoría de gradiente de deformación no lineal (segundo gradiente) o la teoría de varillas de Kirchhoff. Observamos que estos modelos caracterizan el comportamiento mecánico de sólidos polares transversalmente isotrópicos con infinitas fibras puramente flexibles con radio cero. Para introducir el efecto de la rigidez a la flexión de la fibra en fibras puramente flexibles con radio cero, estos modelos asumieron la existencia de tensiones de par (pares de contacto) y tensiones de Cauchy no simétricas. Sin embargo, estas tensiones no están presentes en las deformaciones de sólidos elásticos no polares reales reforzados por fibras de radio finito. Además de esto, la implementación de condiciones de contorno para modelos de segundo gradiente no es sencilla y la discusión sobre la efectividad de los modelos de elasticidad de gradiente de deformación para describir mecánicamente sólidos continuos aún está en curso. En este artículo, desarrollamos una ecuación constitutiva para un sólido elástico no lineal, no polar, reforzado por fibras incrustadas, en la que la resistencia elástica de las fibras a la flexión se modela a través de las ramas clásicas de la mecánica continua, donde el desarrollo de la teoría de tensiones se basa en materiales no polares; es decir, sin utilizar la segunda teoría del gradiente, que está asociada con tensiones de par y tensiones de Cauchy no simétricas. En vista de esto, el modelo propuesto es simple y algo más realista en comparación con los modelos de segundo gradiente anteriores.

Los materiales compuestos reforzados con fibras se han utilizado a menudo en aplicaciones de ingeniería recientes. El rápido crecimiento de las industrias manufactureras ha llevado a la necesidad de mejorar los materiales en términos de resistencia, rigidez, densidad y menor costo con una mayor sostenibilidad. Los materiales compuestos reforzados con fibras se han convertido en uno de los materiales que poseen tales mejoras en propiedades y aprovechan su potencial en una variedad de aplicaciones1,2,3,4. La infusión de fibras naturales, sintéticas o naturales en la fabricación de materiales compuestos ha revelado aplicaciones importantes en una variedad de campos como el biomédico, automovilístico, mecánico, de construcción, marino y aeroespacial5,6,7,8. En biomecánica, algunos tejidos blandos pueden modelarse como materiales compuestos reforzados con fibras9,10. En la ingeniería pesada moderna, los materiales pesados ​​tradicionales están siendo reemplazados gradualmente por estructuras compuestas de polímeros reforzados con fibras de menor peso y mayor resistencia. Estas estructuras, como ferrocarriles y puentes, siempre están bajo la acción de cargas dinámicas en movimiento causadas por el tráfico vehicular en movimiento. Por lo tanto, en vista de lo anterior, es primordial una construcción rigurosa de un modelo constitutivo mecánico, basado en la sólida teoría de la mecánica continua, para sólidos no polares reforzados con fibras, y es de valioso interés en los diseños de ingeniería y encontraría muchas soluciones. aplicaciones prácticas.

La larga historia11,12,13 de la mecánica de sólidos reforzados con fibras no polares ha, en general, enriquecido y avanzado significativamente el conocimiento de la mecánica de sólidos. Un problema de valor límite para un sólido elástico no polar reforzado por fibras (de radio finito) se puede resolver utilizando el método de elementos finitos (MEF), si se permiten elementos pequeños para entrelazar las fibras. Si tratamos las fibras como un sólido isotrópico pero tenemos propiedades de material diferentes a las de la matriz (material que no es atribuible a las fibras), podemos usar una función de energía de deformación no homogénea.

para resolver el problema FEM, donde \(\lambda _1,\lambda _2\) y \(\lambda _3\) son los tramos principales. Observamos que, debido al radio finito de las fibras, se observa resistencia a la flexión debido a cambios en la curvatura de las fibras. Sin embargo, si el radio de la fibra es significativamente pequeño, el entrelazado de las fibras y la matriz puede ser problemático y, por lo tanto, puede que no sea posible buscar una solución de valor límite a través del FEM. Para superar este problema de radio significativamente pequeño, se puede obtener una solución FEM utilizando una función de energía de deformación transversalmente elástica13

donde \({\varvec{U}}\) es el tensor de extensión derecha y \({\varvec{a}}\) es el vector unitario preferido en la configuración de referencia. Observamos que este modelo transversalmente isotrópico contiene infinitas fibras puramente flexibles con radio cero; por lo tanto, este modelo no puede modelar la resistencia elástica debido a cambios en la curvatura de las fibras. Destacamos que la tensión de Cauchy tanto en el modelo isotrópico como en el transversalmente isotrópico es simétrica y esto en realidad se observa en un sólido no polar en ausencia de una tensión de par. Para modelar el efecto de la resistencia elástica debido a cambios en la curvatura de las fibras se desarrollaron modelos recientes14,15,16,17 que se enmarcan en el marco de la teoría no lineal del gradiente de deformación o teoría de varillas de Kirchhoff18. Observamos que estos modelos de segundo gradiente caracterizan el comportamiento mecánico de sólidos (polares) transversalmente isotrópicos con infinitas fibras puramente flexibles con radio cero. Pero, para simular el efecto de la rigidez a la flexión de la fibra sobre fibras puramente flexibles con radio cero, los modelos de segundo gradiente introducen la existencia de una tensión de par y una tensión de Cauchy no simétrica en las ecuaciones constitutivas; Debemos enfatizar que ambas tensiones no están presentes en las deformaciones de sólidos elásticos no polares reales reforzados por fibras de radio finito. En general, los modelos de elasticidad de gradiente más alto se utilizan para describir estructuras mecánicas a escala micro y nano o para regularizar ciertos problemas mal planteados mediante estas contribuciones de gradiente más alto. El debate sobre la eficacia de los modelos de elasticidad de gradiente más alto para describir mecánicamente sólidos continuos aún está en curso19,20,21.

Por lo tanto, el objetivo de este artículo es proponer un modelo aproximado para simular el comportamiento mecánico de sólidos elásticos no polares reales reforzados con fibras de radio finito, donde la tensión de Cauchy es simétrica y la resistencia a la flexión de la fibra es causada por cambios en la curvatura de la fibra. fibras. Nos centramos en los cambios en la curvatura de las fibras, ya que en los sólidos compuestos, estos cambios juegan un papel importante en el comportamiento mecánico de los sólidos. Dado que nuestro modelo contiene infinitas fibras con radio cero, excluimos los efectos debidos a la "torsión" de la fibra. De hecho Spencer y Soldatos17 afirmaron que

"Al hacer esto, excluimos los efectos debidos a la 'extensión' y la 'torsión' de la fibra, los cuales aparecen en la teoría del cristal líquido, pero es plausible que en los sólidos compuestos de fibra el factor principal sea la curvatura de la fibra".

Nuestro modelo propuesto no requiere tensiones de par (que no se observan en sólidos elásticos no polares reales reforzados por fibras de radio finito) para describir la resistencia elástica de las fibras a la flexión.

En el modelado se utiliza el enfoque espectral14,22 y esto se describe preliminarmente en las Secciones. “Preliminares” y “Función de energía de deformación”, donde en la Sección. “Función de energía de deformación” una función de energía de deformación contiene un vector que gobierna los cambios en la curvatura de la fibra. En la sección 1 se presenta un prototipo de la energía de deformación. El “prototipo de energía de deformación” y los problemas de valores límite para estudiar el efecto de la resistencia a la flexión de la fibra se presentan en la Sección. “Problema del valor límite”.

Deformación debida a la aplicación de desplazamiento de límites y tracción de límites. \(B_r\) es la configuración de referencia (no deformada), \(B_t\) es la configuración actual, \({\varvec{x}}\) y \({\varvec{y}}\) son, respectivamente, los vectores de posición de X en las configuraciones de referencia y actual, donde X representa una partícula genérica del cuerpo sólido.

En esta comunicación, todos los subíndices i, j y k toman los valores 1,2,3, a menos que se indique lo contrario. En términos de invariantes espectrales, el gradiente de deformación \({\varvec{F}}\) se describe mediante

donde \({\varvec{y}}\) y \({\varvec{x}}\) denotan, respectivamente, los vectores de posición de una partícula de cuerpo sólido en las configuraciones actual y de referencia (ver Fig. 1); \(\lambda _i\) es un estiramiento principal, \({\varvec{v}}_i\) es un vector propio del tensor de estiramiento izquierdo \({\varvec{V}}= {\varvec{F}}( \lambda _i,{\varvec{v}}_i,{\varvec{v}}_i)\) y \({\varvec{u}}_i\) es un vector propio del tensor de estiramiento recto \({\ varvec{U}}= {\varvec{F}}(\lambda _i,{\varvec{u}}_i,{\varvec{u}}_i)\). Tenga en cuenta que el tensor derecho de Cauchy-Green \({\varvec{C}}= {\varvec{F}}(\lambda _i^2,{\varvec{u}}_i,{\varvec{u}}_i) \) y el tensor de rotación \({\varvec{R}}= {\varvec{F}}(\lambda _i=1,{\varvec{v}}_i,{\varvec{u}}_i)\) , donde \({\varvec{F}}={\varvec{R}}{\varvec{U}}\). Solo consideramos sólidos elásticos incompresibles, donde \(\det {\varvec{F}}=1\), \(\det\) indica el determinante de un tensor y el efecto de las fuerzas corporales se supone insignificante. Aquí no se utiliza la convención de suma.

Para modelar la cinemática de las fibras incrustadas, asumimos que el cuerpo es considerado un continuo homogeneizado que consta de material de matriz y fibras juntas. Modelamos este material considerando un sólido transversalmente elástico con las direcciones unitarias preferidas \({\varvec{a}}({\varvec{x}})\) en la configuración de referencia y estas direcciones preferidas se convierten en el vector

en la configuración actual, donde \({\varvec{f}}\) es un vector unitario. En nuestro modelo propuesto, la derivada direccional del vector unitario de fibra en la dirección de la fibra, es decir,

Juega un papel importante en el modelado de la resistencia elástica debido a cambios en la curvatura de las fibras. En vista de esto dotamos de un vector \({\varvec{d}}\) asociado con \({\varvec{c}}\) (aclararemos la asociación más adelante) en (5), que es independiente de \({\varvec{F}}\), es decir, 14,15

dónde

\({\bar{{\varvec{F}}}}({\varvec{x}})\) es el tensor de deformación independiente de \({\varvec{F}}\), es decir, \({\ varvec{d}}\) no está incrustado en la matriz, por lo que en general su imagen \({\bar{{\varvec{F}}}}^{-T}{\varvec{d}}\) en la configuración actual no está directamente relacionada con la deformación de la matriz. Claramente de (6), tenemos \({\varvec{d}}\cdot {\varvec{a}}=0\) (Ver Fig. 2 para la interpretación geométrica). Si hacemos \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\), entonces tenemos la asociación \({\varvec{c}}= {\varvec{F} }^{-T}{\varvec{d}}\)14,15. Para facilitar el proceso de modelado, expresamos el vector.

donde \({\varvec{k}}\) es un vector unitario con la propiedad \({\varvec{a}}\cdot {\varvec{k}}=0\). Para modelar la resistencia elástica debido a cambios en la curvatura de las fibras, asumimos la energía de deformación objetiva

para cada tensor de rotación \({\varvec{Q}}\). A continuación, el trabajo de Shariff22,23, W puede caracterizarse por las invariantes espectrales

y el escalador \(\rho\), donde \(\lambda _i\) y \({\varvec{u}}_i\) son, respectivamente, los valores propios y vectores propios de \({\varvec{U}}\ ). Por tanto, podemos expresar

tomando nota, \({W}_{(a)}\) debe satisfacer la propiedad P descrita en 24 asociada con la coalescencia de tramos principales \(\lambda _i\). En vista de que W debe ser independiente del signo de \({\varvec{a}}\) y \({\varvec{d}}\), expresamos

Significado geométrico de los vectores derivados direccionales: \({\varvec{F}}\ne {\bar{{\varvec{F}}}}\), \({\varvec{a}}\cdot {\varvec{d }}={\varvec{b}}\cdot {\varvec{c}}= {\bar{{\varvec{b}}}}\cdot {\bar{{\varvec{c}}}} = 0 \), \({\bar{{\varvec{b}}}} = {\bar{{\varvec{F}}}}{\varvec{a}}=\iota {\bar{{\varvec{ f}}}}\), y \({\bar{{\varvec{c}}}} = {\displaystyle \frac{\partial {\bar{{\varvec{f}}}}}{\partial {\varvec{x}}}}{\varvec{a}}\).

La evaluación de los tensores de tensión requiere componentes espectrales del tensor espectral lagrangiano de \({\displaystyle \frac{\partial W}{\partial {\varvec{C}}}}\) es decir,

Las componentes espectrales eulerianas de la tensión de Cauchy \({\varvec{T}}\) para un cuerpo incompresible con respecto a la base espectral euleriana \(\{ {\varvec{v}}_1,{\varvec{v}} _2,{\varvec{v}}_3\}\) son

En este artículo, siguiendo el trabajo de Shariff22, nominamos un prototipo de función de energía de deformación que satisface la propiedad P. Destacamos que nuestra función de energía de deformación no lineal propuesta es consistente con la teoría de la elasticidad infinitesimal. Para garantizar esta coherencia, comenzamos la construcción de nuestro prototipo no lineal desarrollando su contraparte de energía de deformación infinitesimal.

Antes de construir prototipos de energía de deformación para deformación por deformación finita, damos una breve descripción de la elasticidad infinitesimal. Cuando el gradiente del campo de desplazamiento \({\varvec{u}}\) es muy pequeño

donde \(\Vert \bullet \Vert\) es una norma apropiada y la magnitud de e es mucho menor que la unidad. Hasta O(e),

donde \({\varvec{E}}\) es la deformación infinitesimal. La forma cuadrática más general de la función de energía de deformación es

dónde

donde \(\mu , \mu _1, \mu _2, \kappa _1, \kappa _2,\kappa _3\) son constantes materiales del estado fundamental y sus limitaciones se dan en el Apéndice A en línea.

Proponemos una función de energía de deformación finita que es consistente con su contraparte infinitesimal. Esto se puede hacer fácilmente, siguiendo el trabajo de Shariff22, extendiendo la función de energía de deformación infinita anterior utilizando deformaciones espectrales generalizadas para deformaciones finitas. La función de energía de deformación propuesta es

dónde

con las propiedades22

También podríamos incluir la siguiente propiedad, cuando corresponda, \(r_\alpha\) para representar medidas de deformación física con los valores extremos de deformación

Podríamos extender fácilmente (21) a (23) para construir una función de energía de deformación más general (ver por ejemplo 22), pero la función de energía de deformación propuesta en la Sección debería ser suficiente para ilustrar nuestro modelo.

Para ilustrar nuestra teoría, consideramos dos deformaciones simples, flexión pura y torsión finita de un cilindro circular recto, donde se conocen sus desplazamientos. Para problemas de valores en la frontera, donde se desconocen los desplazamientos, la construcción de soluciones se describe en el Apéndice B en línea.

Para trazar los resultados en esta sección, por simplicidad, utilizamos

y los valores del estado fundamental

son los asociados al tejido del músculo esquelético10,25. Dado que nuestro modelo es nuevo y no existen valores experimentales para las siguientes constantes del estado fundamental de rigidez a la flexión, utilizamos los valores ad hoc

para trazar los gráficos. Tenga en cuenta que los valores anteriores satisfacen las restricciones indicadas en el Apéndice A.

Doblado de un bloque rectangular en un sector de un tubo cilíndrico.

Considere el problema de flexión pura en deformación plana, representado en la Fig. 3, en el que una losa rectangular de material incompresible se dobla en un sector de un anillo circular definido por

donde \((r,\theta ,z)\) es la coordenada polar cilíndrica para la configuración actual y \((x_1,x_2,x_3)\) es la coordenada referencial cartesiana con la base \(\{ {\varvec{ g}}_1, {\varvec{g}}_2, {\varvec{g}}_3 ={\varvec{e}}_z \}\).

La fórmula empleada aquí podría usarse para comparar nuestra teoría con un experimento (por ejemplo, un experimento de prueba de flexión de tres puntos descrito en la referencia 26).

El tensor de deformación tiene la forma

De la condición de incompresibilidad \(\det {\varvec{F}}=1\) y las condiciones de contorno \(\theta (0)=0\) y \(r(A)=a\) obtenemos

donde \(r(B) = b\). Por lo tanto, en vista de (3), (30) y (31), tenemos

y los vectores de base espectral son \({\varvec{u}}_i={\varvec{g}}_i\), \({\varvec{v}}_1={\varvec{e}}_r\), \({\varvec{v}}_2={\varvec{e}}_\theta\) y \({\varvec{v}}_3={\varvec{e}}_z\).

En esta sección estudiamos el caso \({\varvec{a}}={\varvec{g}}_2\), por lo tanto, \(a_1=a_3=0\) y \(a_2=1\). Si hacemos \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\), obtenemos

La función de energía de deformación está simplificada, es decir

Los componentes de tensión de Cauchy distintos de cero simplemente se convierten

donde \(\sigma _1=\sigma _{rr}\), \(\sigma _2=\sigma _{\theta \theta }\) y \(\sigma _3=\sigma _{zz}\) son cilíndricos componentes del estrés de Cauchy. Dado que \(\sigma _i\) depende sólo de r, la ecuación de equilibrio simplemente se convierte en

Si asumimos que \(\sigma _{rr} = 0\) en \(r = b\), entonces tenemos

Por tanto, podemos evaluar

y con la expresión anterior para p obtenemos las relaciones tensión-deformación para \(\sigma _{\theta \theta }\) y \(\sigma _{zz}\). El momento flector \({\mathcal {M}}\) y la fuerza normal \({\mathcal {N}}\), por unidad de longitud en la dirección \(x_3\), y aplicados a una sección de constante \(\theta\), son

En las Figs. 4 y 5, los comportamientos de las tensiones radial y circunferencial, respectivamente, se representan usando \({\displaystyle \frac{\chi }{B}}=1\) y el material se deforma a \({\displaystyle \frac {a}{B}}=1\). De estas figuras se desprende claramente que la magnitud de las tensiones es mayor para un sólido elástico con fibras resistentes a la flexión que para un sólido con fibras perfectamente flexibles.

Comportamiento radial de la tensión \(\sigma _{rr}\). (a) Sólido elástico con resistencia a la flexión de la fibra. (b) Sólido elástico sin resistencia a la flexión de las fibras.

Comportamiento radial de la tensión \(\sigma _{\theta \theta }\). (a) Sólido elástico con resistencia a la flexión de la fibra. (b) Sólido elástico sin resistencia a la flexión de las fibras.

Los valores de \({\mathcal {M}}\) para un material con y sin resistencia a la flexión de la fibra son, respectivamente, 46,44514245 kPaM\(^2\) y 35,55851694 kPaM\(^2\). Los valores de \({\mathcal {N}}\) para un material con y sin resistencia a la flexión de la fibra son, respectivamente, 30,58637503 kPaM y 23,29228593 kPaM. Por lo tanto, la rigidez a la flexión aumenta la magnitud de \({\mathcal {M}}\) y \({\mathcal {N}}\).

En esta sección consideramos un anillo cilíndrico circular incompresible de paredes gruesas con la geometría inicial

donde R, \(\Theta\) y Z son coordenadas polares de referencia con la base correspondiente \(B_R=\{ {\varvec{E}}_R,{\varvec{E}}_\Theta ,{\varvec{E }}_Z \}\). El problema del valor límite ilustrado aquí podría usarse en un experimento (ver, por ejemplo, la referencia 27) para verificar nuestras predicciones teóricas.

La deformación se representa en la Fig. 6 y se describe por

donde \(\tau\) es la cantidad de torsión por unidad de longitud deformada y \(\lambda _z\) es el estiramiento axial. En la formulación anterior, r, \(\theta\) y z son coordenadas polares cilíndricas en la configuración deformada con la base correspondiente \(B_C=\{ {\varvec{e}}_r,{\varvec{e}}_ \theta ,{\varvec{e}}_z \}\). Aquí, hemos permitido \({\varvec{e}}_r={\varvec{E}}_R\), \({\varvec{e}}_\theta ={\varvec{E}}_\Theta \) y \({\varvec{e}}_z={\varvec{E}}_Z\). El gradiente de deformación es

donde \(\gamma =r\tau\) y en este artículo, solo consideramos \(\lambda _z \ge 1\). Las principales direcciones lagrangianas son:

dónde

con

En el caso de torsión pura, \(\lambda _z=1\) y tenemos \({\hat{\gamma }}=\gamma\). Los principales estiramientos para una deformación combinada de extensión y torsión son

Torsión y extensión de un cilindro.

En esta sección consideramos el caso cuando \({\varvec{a}}={\varvec{E}}_z\), por lo tanto, \(a_1=0\), \(a_2=s\) y \(a_3 =c\). Si dejamos \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\) y usando

obtenemos

La función de energía de deformación toma entonces la forma

El estrés de Cauchy

En vista de \({\varvec{a}}\equiv [0,0,1]^T\), tenemos \(a_1=0\), \(a_2=s\) y \(a_3=c\ ) y

dónde

La fuerza normal \({\mathcal {N}}\) y el par por unidad de área deformada \({\mathcal {M}}\) aplicados en los extremos del cilindro son los siguientes:

Para eliminar el término de presión hidrostática en (54)\(_1\), usamos la relación de equilibrio

y reformular (54)\(_1\) en la forma

De la figura 7 se desprende claramente que, para un estiramiento axial \(\lambda _z=1.5\), requerimos más torque para torcer un cilindro sólido elástico con rigidez a la flexión de la fibra.

Torsión, \({\mathcal {M}}\) frente a \(\tau\). (a) Sólido elástico con rigidez a la flexión de la fibra. (b) Sólido elástico sin rigidez a la flexión de las fibras. \(\lambda _z=1.5\).

Hemos modelado la resistencia elástica debido a cambios en la curvatura de las fibras sin utilizar la segunda teoría del gradiente. En vista de esto, el modelo hiperelástico propuesto es simple y no contiene tensiones de par (lo cual se requiere en un segundo modelo de gradiente). Por lo tanto, el modelo propuesto es más realista en el sentido de que un polímero reforzado con fibra de carbono es un material no polar, donde no existen tensiones de par. En un futuro próximo se obtendrán soluciones FEM del modelo propuesto y extenderemos este modelo a polímeros reforzados con una familia de dos fibras.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo publicado [y sus archivos de información complementaria].

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Departamento de Matemáticas, Universidad Khalifa de Ciencia y Tecnología, Abu Dhabi, Emiratos Árabes Unidos

MHBM Shariff

Departamento de Matemática Aplicada a las TIC, ETS de Ingeniería de Sistemas Informáticos, Universidad Politécnica de Madrid, 28031, Madrid, Spain

J.Merodio

Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Chile, Beauchef 851, Santiago Centro, Santiago, Chile

R. Bustamante

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MHBMS Redacción: borrador original, redacción: revisión y edición. Todos los autores revisaron el manuscrito.

Correspondencia a MHBM Shariff.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Shariff, MHBM, Merodio, J. & Bustamante, R. Un modelo sin segundo gradiente para cuerpos elásticos no lineales con rigidez de fibra. Representante científico 13, 6562 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33670-6

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Recibido: 03 de febrero de 2023

Aceptado: 17 de abril de 2023

Publicado: 21 de abril de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33670-6

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